Finite Mathematik Beispiele

$\frac{e^{4 t} + 2 e^{3 t} + e^{2 t}}{e^{2 t}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $e^{4 t}$ als ${(e^{2 t})}^{2}$ um.

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 e^{3 t} + e^{2 t}}{e^{2 t}}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $e^{2 t}$ als ${(e^{t})}^{2}$ um.

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 e^{3 t} + {(e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Schritt 1.1.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 e^{3 t} = 2 \cdot e^{2 t} \cdot e^{t}$

Schritt 1.1.4

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 \cdot e^{2 t} \cdot e^{t} + {(e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = e^{2 t}$ und $b = e^{t}$ .

$\frac{{(e^{2 t} + e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Schritt 1.2

Schreibe $e^{2 t}$ als ${(e^{t})}^{2}$ um.

$\frac{{({(e^{t})}^{2} + e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Schritt 1.3

Es sei $u = e^{t}$ . Ersetze $u$ für alle $e^{t}$ .

$\frac{{(u^{2} + u)}^{2}}{e^{2 t}}$

Schritt 1.4

Faktorisiere $u$ aus $u^{2} + u$ heraus.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$\frac{{(u \cdot u + u)}^{2}}{e^{2 t}}$

Schritt 1.4.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{{(u \cdot u + u^{1})}^{2}}{e^{2 t}}$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $u$ aus $u^{1}$ heraus.

$\frac{{(u \cdot u + u \cdot 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Schritt 1.4.4

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u + u \cdot 1$ heraus.

$\frac{{(u (u + 1))}^{2}}{e^{2 t}}$

Schritt 1.5

Ersetze alle $u$ durch $e^{t}$ .

$\frac{{(e^{t} (e^{t} + 1))}^{2}}{e^{2 t}}$

Schritt 1.6

Wende die Produktregel auf $e^{t} (e^{t} + 1)$ an.

$\frac{{(e^{t})}^{2} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Schritt 1.7

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{t})}^{2}$ .

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Schritt 1.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{t \cdot 2} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Schritt 1.7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t$ .

$\frac{e^{2 t} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 t}$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 t} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Schritt 2.1.2

Dividiere ${(e^{t} + 1)}^{2}$ durch $1$ .

${(e^{t} + 1)}^{2}$

Schritt 2.2

Schreibe ${(e^{t} + 1)}^{2}$ als $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ um.

$(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$

Schritt 3

Multipliziere $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{t} (e^{t} + 1) + 1 (e^{t} + 1)$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 (e^{t} + 1)$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $e^{t}$ mit $e^{t}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{t + t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.1.2

Addiere $t$ und $t$ .

$e^{2 t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $e^{t}$ mit $1$ .

$e^{2 t} + e^{t} + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $e^{t}$ mit $1$ .

$e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1$

Schritt 4.2

Addiere $e^{t}$ und $e^{t}$ .

$e^{2 t} + 2 e^{t} + 1$